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群论在数学分析中的应用? - 知乎

7 个回答

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Peter-Weyl定理是说对于任何compact Lie group 而言,它的matrix coefficients在 中dense。所谓的matrix coefficient,是一个函数 ,其中 是finite-dimensional representation,而 是linear map。

这个定理实际上等价于任何compact Lie group都同构于matrix group。因为假如 是matrix group,那么Peter-Weyl定理是Stone-Weierstrass定理的推论。

虽然在历史上,这个定理的证明更像是分析在表示中的应用,但你也可以绕过Peter-Weyl,用别的办法证明compact Lie group都是matrix group,所以这实际上也可以看成是群论在分析上的应用。

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数学话题下的优秀答主

谢邀,其实在分析中有一个分支里群本身就是研究的重点:群上的傅立叶分析。rudin其实除了有名的三本分析外还写了一本「Fourier seires on groups」,谈的就是这个问题(其实他本人的研究方向就是这个)。其实傅立叶分析和群本身的关系是「天然的」。当然了,这里的群 [公式] 是具备拓扑结构的,比如是locally compact的Hausdorff space。 并且这个拓扑结构得和群结构相融,也就是群中的乘运算是连续的。 当群是交换的情况,结果会简明清晰不少。 这类群叫LCA群。 我们分析中一般遇到的经典拓扑群基本都是这类: [公式]等。你会发现在这些群上可用一套非常统一的方式建立起傅立叶变换和相关的重要的概念:卷积、傅立叶变换、对偶群和基础性的定理:Plancherel Theorem,Poisson Summation Formula。当然了,即使对于不交换的情况,这些重要定理,比如Plancherel Theorem也能成立( 比如对于type I group).Poisson Summation Formula 在非交换推广下就是Selberg Trace Formula。 然后就是representation theory 中的一个重要分类:group representation。其中最有名的定理 Peter-Weyl定理, 它描述的就是(非交换)紧群 [公式][公式] 上的regular representation 的分解。也就是把regular representation分解成irreducible finite-dimensional unitary representations的直合。如果群是可交换的,那么这个结果就是Plancherel Theorem的推论。Peter-Weyl定理可以应用到解决希尔伯特第五问题上(当然是紧的情况下)。群上的傅立叶分析不只是在分析中本身很重要,也是研究量子力学( Heisenberg群)解析数论(Dirichlet L-function) 和hyperbolic surface (Selberg zeta function)的重要工具。

让我们限定到LCA群上简单的谈一谈,首先你可以利用构造或者不动点的方法证明它一定存在一个(非负)的平移不变的random measure,我们一般管它叫Haar measure. 有了这个测度,那么就能在它上面做积分了。 特别的,我们可以定义卷积 [公式] .

我们把从 [公式] 的(非零)连续群同态 [公式] 叫做character。所有这些character可以组成一个交换群,我们管它叫 [公式] 的对偶群 [公式] 。 如此,我们就可以定义 [公式] 上的傅立叶变换。

[公式]

这个公式其实就统一了本科遇到的两种傅立叶变换:当 [公式] 的时候,它的对偶就是 [公式] ,而当 [公式]的时候,对偶是 [公式] . 由于这两个对偶的元素本质上是由 [公式][公式] 。 所以也写成发现 [公式][公式]

傅立叶变换有一个重要的作用,它可以让我们把交换代数 [公式] 上的最大理想构成的空间 [公式] 和对偶群 [公式] 一一对应. 也就是说,

[公式] .

这个对应可以让我们把 [公式] 的拓扑带到 [公式] 上。而且这个拓扑能让 [公式] 也变成一个LCA群。利用交换算子代数中的定理,你就能把傅立叶变换看成是从 [公式][公式][公式] -homomorphism 而且能保证傅立叶变换的值域是稠密的。如果我们把 [公式] 嵌入到 [公式][公式] ). Young's convolution inequality能保证这个嵌入是成功的。这个嵌入的好处是能让 [公式] 延展成成一个 [公式] -algebra [公式] . 从而 Gelfand-Naimark 能保证 傅立叶变换 [公式] 是从 [公式][公式] 的 isometric [公式] -isomorphism.也就是说,

[公式] , [公式]

这个其实已经得到了傅立叶变换是单射的,并且顺带证明了一般的Riemann-Lebesgue Lemma。既然对偶群也是LCA的,它自然也有Haar measure。不过Haar measure不是唯一的,一般差一个常数。通过恰当的构造方法,你可以得到一个Plancherel measure,这个measure能保证

[公式]

这里的0是单位元,自然我们需要假设 [公式][公式] . 然后通过平移 [公式] ,我们就得到了Inversion Formula

[公式]

然后你会发现 [公式] 引导的从 [公式][公式] 的群同态是稠密的。然后还能进一步证明 [公式] 是一个拓扑群同构,也就是说 [公式] . 然后利用 [公式] 和一个稠密性结果可以得到Plancherel Theorem,也就是傅立叶变换本身一个从 [公式][公式] 的unitary equivalence。 设 [公式][公式] 的一个闭子群,那么

[公式]

是一个LCA group的exact sequence,它的对偶

[公式]

也是exact sequence。由此我们得到Poisson Summation Formula

[公式]

这个公式的特别情况就是 [公式] 上的特殊情况,也就是 [公式]几乎出处成立。

到这里就是LCA group的基本结构。算是基础中的基础。 representation theory,ordered group 上的spectral decomposition等等以后有机会再说。还有,很多教材(Rudin)上提到的positive definite functions和Bochner's theorem我也没提到。 这也是通往 Pontryagin Duality/inversion Formula的第二条路径。

PS: 我也困了,该睡觉了,最近生物钟完全紊乱,今天有发生了事,估计今晚更难睡了。

Measure
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构造或者不动点的方法证明它一定存在一个(非负)的平移不变的random measure,我们一般管它叫Haar measure
2021/01/09 11:31